Ecuaciones

Tuesday, September 27, 2005

Ecuaciones

PREGUNTAS SOBRE MATEMÁTICA ABP GALVANOPLASTÍA


1. ¿Qué es una ecuación de segundo grado? Ejemplos.

"Llamamos ecuación de segundo grado con una incógnita a la igualdad que se nos forma al sustituir la " y " de una función cuadrática por 0.

Esto es una función cuadrática

Esto sería una ecuación de segundo grado.

Llamamos raíces de una ecuación de segundo grado con una incógnita a los dos valores: X1 y X2, si existen, de la ingógnita " X " para los que la igualdad de la ecuación es cierta. Podemos comprobar gráficamente la existencia de las dos raíces, si observamos que la parábola corta al eje de las abscisas. Los puntos de corte corresponderán a los valores de X1 y X2"(1).

"Una ecuación de segundo grado con una incógnita es una ecuación que se puede poner bajo la forma canónica:

a x^2 + b x + c = 0 \,


donde a, b y c, con a ≠ 0, son números que pertenecen a un cuerpo, usualmente a R o a C"(2).

Nota: "Una ecuación cuadrática tiene, por lo general, dos respuestas o raíces, que cumplirán las condiciones mismas de la ecuación"(3).

Vocabulario:

"Cuerpo es un anillo conmutativo tal que todo elemento distinto de cero es una unidad (es inversible)"(4).

R= Números reales.

C= Números complejos.

Citas biliográficas:

1)http://www.cnice.mecd.es/Descartes/Algebra/Ecuacion_segundo_grado/Ecuacion_segundo_grado.htm

2)http://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_de_segundo_grado

3)http://www20.brinkster.com/fmartinez/algebra8.htm

4)http://es.wikipedia.org/wiki/Cuerpo

2. ¿Qué se tiene en cuenta para la resolución algebraica?

Vamos a recordar la idea básica de los tres métodos que ya conocemos para resolver sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas:

Completando cuadrados.

http://www.mailxmail.com/curso/informatica/calculoecuaciones/capitulo3.htm

Si completamos un cuadrado perfecto en una ecuación de 20 grado obtenemos otra solución y los pasos son los siguientes:

Los miembros de una ecuación de 20 que contengan X los trasladamos al lado izquierdo y las constantes al lado derecho.

Dividimos los dos miembros entre el coeficiente de X2.

Se suma a los dos miembros el cuadrado de la mitad del coeficiente de X.

Se igualan las raíces cuadradas de los dos miembros de la ecuación obtenida en el paso 3 para obtener ecuaciones de primer grado.

Se resuelven para X las dos ecuaciones de primer grado.

Ejemplo:

2X^2 - X - 6 = 0 Paso 1

X^2 - X/2 = 3 Paso 2

X^2 - X/2 + 1/16 = 3 + 1/16 Paso 3

(X - ¼)^2 = 49/16 Paso 4

X = (+ / - 7/4) + ¼ Paso 5

Soluciones

X(1) = 2

X(2) = -3/2

Forma general

http://www.mailxmail.com/curso/informatica/calculoecuaciones/capitulo1.htm

Una ecuación de segundo grado se define de la siguiente manera:

ax^2 + bx + c = 0

Donde a, b y c son constantes arbitrarias, también debemos tener presente que la constante "a" debe ser diferente a cero, de lo contrario se reduciría nuestra ecuación a una ecuación de primer grado.

Ecuaciones completas (ax^2 + bx + c = 0)

(ax^2 + bx = 0)

Las ecuaciones de 20 grado se dividen:

Ecuaciones Simples (ax^2 + c = 0)


Se dice que una ecuación es completa porque aparecen la primera y la segunda incógnita en ecuación y simple porque solo aparece la incógnita elevada a la segunda potencia.

Empezaremos nuestro estudio cuando tenemos una ecuación simple de segundo grado: ejemplo 3x^2 - 27 = 0.

Para resolver esta ecuación solo debemos seguir los siguientes pasos:

Coloca los miembros de la ecuación de tal forma que todos los que contienen la incógnita se encuentren del lado izquierdo y aquellos que no pásalos al lado derecho.

Ejemplo: 3x^2 = 27

Despeja x para obtener lo siguiente : X = +/- 3

Obtenemos el resultado como + - 3 porque en una ecuación de segundo grado hay dos soluciones, esto implica que en una ecuación de tercero o cuarto grado habrán 3 y 4 soluciones respectivamente

Nota: En ocasiones obtendrás raíces extrañas por ejemplo X^2 = - 25, esto habitualmente se conoce como numero imaginarios, donde i^2 = -1 donde de acuerdo a esta definición nuestro resultado al ejemplo anterior seria + / - 5i

Por el método de factorización

http://www.mailxmail.com/curso/informatica/calculoecuaciones/capitulo2.htm

El método para solucionar ecuaciones de segundo grado por medio de la factorización es un poco complicado pero con algo de práctica se puede obtener cierta habilidad, este método se basa en que el producto de dos o más factores es cero, si cualquiera de los factores es cero.

De este modo la ecuación (X-4)(X-3) = 0 se satisface ya sea para X = 4 o para X= 3

Nota: Una buena habilidad adquirida en este método nos pueda dar buenos frutos en la solución de no solo ecuaciones de segundo grado si no incluso de grado superior.

Los pasos a seguir son los siguientes:

Coloca todos los miembros del lado izquierdo de la ecuación e iguálalos a cero Factoriza el miembro de la izquierda en factores de primer grado. Cada factor así formado de primer grado se iguala a cero y se obtienen así las raíces.

Nota: Si no se cumple el primer paso entonces la ecuación no es factorizable.

Ahora bien te has de preguntar querido lector como se hace en la practica, pues aquí esta la solución con el siguiente ejemplo:

X^2 = 2X + 3

X^2 - 2X - 3 = 0 (Paso 1)

Para el caso dos el secreto esta en encontrar dos números que sumados nos den -2 y al multiplicarlos nos den como resultado - 3.

Esos números son -3 y 1 a continuación dichos números los sustituimos por -2 y la ecuación nos da como resultado:

X^2 - 3X + X -3 = 0

X(X - 3) + (X -3) = 0

(X + 1)(X - 3)=0 (Paso 2)

Solución a la ecuación

X = -1

X = 3 (Paso 3)

No obstante, no siempre es fácil encontrar ambos números sobre todo si son cantidades grandes, ahora bien, un problema muy común es que en el primer término de la ecuación el coeficiente sea mayor a uno (A > 1) y es aquí donde tenemos una solución muy interesante para poder factorizar los términos.

Resulta que debemos multiplicar el coeficiente de X2 por el tercer término ( C ), lo que nos dará como resultado un número más grande.

Una vez que hemos hecho el paso anterior la tarea se centra en encontrar dos números que sumados nos el segundo termino y multiplicados nos den el numero grande encontrado.

Es así como funciona:

2X^2 - X -6 = 0

(2)(-6) = -12 (Obtenemos el gran numero)

Los dos números son 3 y -4 los cuales sumados nos dan - 1 y multiplicados nos dan -12 que es el gran numero obtenido.

2X^2 - 4X + 3X -6 = 0 (Sustitución de los dos números)

2X(X - 2) + 3(X - 2) (Factorizacion por factor común)

(X - 2)(2X + 3) = 0 (Ecuaciones de primer grado)

X = 2 (Resolución de las ecuaciones de primer grado)

X = -3/2

Para resolver álgebra ay que tener en cuentas:

a) Los signos de conexión

b) multiplicar correctamente expresiones algebraicas

c) Operar fracciones correctamente

d) conocer las reglas de potenciación, radicación, valor absoluto.

Direcciones Webs:

http://www.cnice.mecd.es/Descartes/Algebra/Sistemas_ecuaciones_lineales_resolucion_grafica_algebraica/Sistemas_de_ecuaciones_lineales_interpretacion.htm

http://www.madrid.org/educa_dgoa/rg/eso_bach/eso_normativa/Decreto_73_2004/decreto_73_2004_Matematicas.htm

http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd97/Problemas/09-02-p-SisEcuIPresentacion.html

3. ¿Cómo Resolver una ecuación general de segundo grado con una incógnita?

Resolución de Ecuaciones Cuadráticas Incompletas

Resolver : 4x2 - 16 = 0

En este primer ejemplo falta el término que contiene solamente a la variable "x" o variable de primer grado, entonces debemos proceder de la siguiente manera:

4x2 - 16 = 0

4x2 = 16

Pasamos el -16 al otro lado de la igualdad empleando operaciones inversas.

x2 = 16 = 4
4

Pasamos el 4 a dividir al otro lado de la igualdad.

√x2 = √4

Ahora sacamos la raíz cuadrada en ambos términos (para eliminar el exponente de "x")

x = ±2

Tendremos dos respuestas, una la raíz positiva y otra la raíz negativa.

Resolver: 5x2 + 3x = 0

En este segundo ejemplo, nos falta el término numérico o término independiente. Entonces procedemos de la siguiente manera:

5x2 + 3x = 0

x(5x + 3) = 0

Factorizamos de acuerdo a nuestras posibilidades. En este caso la letra "x" (empleamos factor común monomio).

x(5x + 3) = 0

Igualamos a 0 (cero) cada uno de los factores; tanto el primero, como el segundo

x = 0

Para encontrar la primera respuesta o raíz igualamos el primer factor a 0 (cero).

5x + 3 = 0
x = -3
5

La otra respuesta viene de igualar el segundo factor a 0 (cero). en este caso hemos tenido que resolver una ecuación de primer grado, para lo cual hemos empleado operaciones inversas.

Resolución de Ecuaciones Cuadráticas por Factorización

"Por ejemplo, es una ecuación factorizable porque puede ser factorizada por los factores lineales (3x - 4) y (x + 2). O sea, = (3x - 4)(x + 2). Para resolver una ecuación mediante este método primero se escribe la ecuación en la forma . Luego se factoriza la expresión en factores lineales. Y por último se determina el valor de x .
Como por ejemplo:

"(2)

"Otro ejemplo:

8x2 -16x = 2x +5

Ecuación Cuadrática a resolver.

8x2 -16x -2x -5 = 0

Llevamos todos los términos a un lado de la igualdad.

8x2 -18x -5 = 0

Reducimos términos semejantes.

8x2 -18x -5 = 0

Buscaremos un método de factorización adecuado para la primera parte.

8x2 -18x -5 = 0
4x 1
2x -5
8x2 -5

Emplearemos el método de factorización por aspa simple. Buscamos primero dos números que multiplicados me den 8, y luego dos números que multiplicados me den -5. Para el primer caso escogemos (4x)(2x) = 8x2, y luego (1)(-5) = -5

8x2 -18x -5 = 0
4x 1 2x
2x -5 -20x
aaaaaaaaa-18x

Verificamos que la suma o diferencia de los productos cruzados cumpla con la condición de ser igual al segundo término, es decir, igual a -18x.

(4x +1) (2x -5) = 0

Procedemos a colocar los factores.

(4x +1) = 0 (2x -5) = 0
4x + 1 = 0 2x - 5 = 0
4x = -1 2x = 5
x = -1 x =
5
4 2

Finalmente igualamos cada uno de los factores a 0 (cero) y resolvemos las ecuaciones para hallar las raíces o resultados"(1).


Resolución de Ecuaciones Cuadráticas Completando Cuadrados

"Para resolver una ecuación cuadrática con este método debemos completar un binomio al cuadrado y luego despejar utilizando nuestros principios matemáticos.

Veamos un ejemplo:

x2 + 6x + 5 = 0

x2 + 6x + 5 +4= 0 +4

Hemos sumado 4 en ambos lados de la igualdad.

x2 + 6x + 9 = 4

Observamos que a la izquierda: (x +3)2 = x2 + 6x + 9

(x +3)2 = 4

Además en el término de la derecha 22 = 4

(x +3)2 -22 = 0

Llevaremos todos los términos a un solo lado de la igualdad, mientras que al otro lado dejaremos simplemente 0 (cero).

[(x +3) -2] [(x +3) +2] = 0
(x +3 -2) (x +3 +2) = 0
(x +1) (x +5) = 0

Factorizamos. Observe que en el primer factor se respetan todos los signos, mientras que en segundo factor se cambia el signo solo al término independiente (número).

(x +1) = 0 (x +5) = 0
x +1 = 0 x +5 = 0
x = -1 x = -5

Finalmente igualamos cada uno de los factores a 0 (cero) y resolvemos las ecuaciones para hallar las raíces o resultados"(1).

Fórmula General para la Resolución de Ecuaciones Cuadráticas

"Habiamos dicho que una ecuación cuadrática tiene la forma: ax2 + bx + c = 0
donde a, b y c son números reales; y x es la incógnita o variable.

Entonces para hallar directamente las raices podemos aplicar la fórmula:

x = -b ± √(b2 -4ac)
2a

Ejemplo:

3x2 -2x -5 = 0

En mi ecuación original ubico los valores de a, b y c

x = -b ± √(b2 -4ac)
2a

x = -(-2) ± √[(-2)2 -4(3)(-5)
2(3)

Reemplazo los valores en la fórmula general.

x = 2 ± √(4 +60)
6

Resuelvo las potencias y productos.

x = 2 ± √64
6

Resuelvo la operación dentro del radical (en este caso una suma).

x = 2 ± 8
6

Resolvemos el radical y dejamos todo listo para hallar las dos raices o respuestas.

x = 2 + 8 x= 2 -8
6 6

Una de las raices será para el caso de la suma, mientras que la otra será para el caso de la resta.

x = 10 = 5 x= -6 = -1
6 3 6

Finalmente hallamos los valores para "x" "(1).

Citas bibliográficas:

1)http://www20.brinkster.com/fmartinez/algebra8.htm#factorización

2)http://ponce.inter.edu/csit/math/precalculo/sec2/cap2.html#cuadra

Citas URL:

http://html.rincondelvago.com/ecuaciones-de-segundo-grado_1.html

http://huitoto.udea.edu.co/Matematicas/3.4.html


4. ¿Qué deberíamos hacer para dar solución a ecuaciones cuadráticas con una incógnita en el denominador?

Ecuación cuadrática

Pasos:

1.- Sacar MCM a los denominadores

2.- Dividir el MSM con cada uno de los denominadores y multiplicarlo con el numerador

3.- Tener una expresión igualada a cero

4.- Aplicar método de aspa o formula general donde se obtendrá dos soluciones


2/x + x = 8

2 + x 2 = 8x

2+ x2 -8x= 0

x2 – 8x +2 = 0

5. Resolución de ecuaciones cuadráticas literales.

Ecuación Cuadrática Literal es aquella en que los coeficientes son letras que representan números reales. Para resolverlas se emplean los msimo procediementos utilizados en las ecuaciones cuadráticas con coeficientes numéricos.


  • "c) Ecuaciones literales
  • Pueden ser lineales o fraccionarias, si son fraccionarias, se llevan al tipo lineal, pero en el paso de reducir términos semejantes se factoriza por "x" para despejarla. "(1)
  • Ejemplo:

    Citas bibliográficas:

    1) http://www.sapiens.ya.com/geolay/pagehtm/algeb06.htm

    6. ¿Qué es y cómo resolver:?

    a. Un sistema de ecuaciones con dos y tres incógnitas:

    Conjunto de ecuaciones que tienen dos o tres variables, donde sus valores deben satisfacer

    Con los resultados

    2x + 5y + 2z = 9

    5x – 4y + 8z = 8

    3x – 2y + 6z = 6



    b. Ecuaciones simultáneas.

    Es un sistema de ecuaciones donde los valores que se obtengan tienen que cumplir con ella

    2x + 5y = 8

    3x – 2y = 7


    c. Sistema de ecuaciones: Sistema de ecuaciones de primer grado con dos incógnitas, métodos.

    Se pueden utilizar los métodos :

    Método de Reducción.

    "Consiste en multiplicar una o ambas ecuaciones por algún(os) número(s) de forma que obtengamos un sistema equivalente al inicial en el que los coeficientes de la x o los de la y sean iguales pero con signo contrario. A continuación se suman las ecuaciones del sistema para obtener una sola ecuación de primer grado con una incógnita. Una vez resuelta esta, hay dos opciones para hallar la otra incógnita: una consiste en volver a aplicar el mismo método (sería la opción más pura de reducción); la otra es sustituir la incógnita hallada en una de las ecuaciones del sistema y despejar la otra. Veamos el proceso por fases.

    i. Se multiplican las ecuaciones por los números apropiados para que, en una de las incógnitas, los coeficientes queden iguales pero de signo contrario,

    ii. Se suman ambas ecuaciones del nuevo sistema, equivalente al anterior.

    iii. Se resuelve la ecuación lineal de una incógnita que resulta.

    iv. Para este paso hay dos opciones:

    a. Se repite el proceso con la otra incógnita.

    b. Se sustituye la incógnita ya hallada en una de las ecuaciones del sistema y se despeja la otra.

    De nuevo es evidente que todas las aclaraciones hechas en la sección del método de sustitución sobre la discusión del sistema en orden a saber si tiene solución o no y cuántas (en caso de tenerlas), son igualmente válidas en este método.

    Veamos de nuevo el mismo ejemplo de los métodos anteriores resuelto por el método de reducción:

    Entre Ana y Sergio tienen 600 euros, pero Sergio tiene el doble de euros que Ana. ¿Cuánto dinero tiene cada uno?.

    Llamemos x al número de euros de Ana e y al de Sergio. Vamos a expresar las condiciones del problema mediante ecuaciones: Si los dos tienen 600 euros, esto nos proporciona la ecuación x + y = 600. Si Sergio tiene el doble de euros que Ana, tendremos que y = 2x. Ambas ecuaciones juntas forman el siguiente sistema:


    x + y = 600
    2x - y = 0

    Vamos a resolver el sistema por el método de reducción. Para ello, teniendo en cuenta que, en ambas ecuaciones, la y tiene coeficientes opuestos, podemos pasar a sumar directamente ambas y nos quedará:


    3x = 600 ⇒ x = 600/3 ⇒ x = 200

    A partir de este momento es cuando se pueden aplicar caulquiera de las dos posibilidades descritas más arriba. Como en secciones anteriores ya hemos resuelto esta parte del problema sustituyendo la x para despejar la y, vamos ahora a utilizar la otra posibilidad, es decir, vamos a terminar el ejercicio con la forma más pura posible de aplicación del método de reducción. Para ello, vamos a volver a aplicar el método para hallar la y sin tener que recurrir a ninguna sustitución.

    Multiplicamos la primera ecuación por -2 y obtendremos el siguiente sistema, equivalente al inicial:


    -2x - 2y = -1200
    2x - y = 0

    Si sumamos ambas ecuaciones de este sistema tendremos:


    -3y = -1200 ⇒ y = 1200/3 ⇒ y = 400

    Por tanto, la solución al problema planteado es que Ana tiene 200 euros y Sergio tiene 400 euros, es decir, el mismo resultado, evidentemente, que habíamos obtenido con los métodos de sustitución e igualación.

    En la próxima sección analizaremos el último método que nos queda por ver para resolver los sistemas de ecuaciones y que, además, es el único que no es analítico, sino gráfico". (1)

    Método de Sustitucíón.

    "Consta de dos fases: discusión y resolución. La discusión consiste en clasificar el sistema según el esquema visto en la sección anterior, es decir, analizar si el sistema tiene o no solución y, en caso de tenerla, cuántas soluciones. Por otro lado, para la resolución, una vez comprobado que el sistema tiene solución, se utilizará uno de los métodos que en esta Unidad se describen.

    En principio, por tanto, la discusión es un proceso anterior al de resolución. Ahora bien, estas fases sólo se realizan en ese orden cuando se utilizan métodos para la resolución de los sistemas distintos de los que veremos en este nivel y que, por tanto, quedan fuera del ámbito de este curso. Por ello, en este momento, ambos procesos, la discusión y la resolución del sistema, se harán de manera simultánea.

    En cuanto a la resolución, los métodos que veremos en esta Unidad, que no son todos como ha quedado indicado más arriba, se dividen en dos grupos: métodos analíticos y método gráfico. Los métodos analíticos son los que permiten la resolución (y discusión) del sistema sin necesidad de recurrir a su representación gráfica, es decir, mediante la utilización de la equivalencia de sistemas, ya vista anteriormente, y simples operaciones aritméticas. Los métodos analíticos, que iremos viendo uno a uno, son tres: sustitución, igualación y reducción. Por contra, el método gráfico (sólo hay uno), consiste, como su propio nombre indica) en resolver (y discutir) el sistema mediante la representación gráfica de sus ecuaciones.

    De ahora en adelante, iremos viendo, uno por uno, los diferentes métodos de resolución de los sistemas de ecuaciones y, al mismo tiempo, cómo, simultáneamente, se puede ir haciendo, en cada caso, la discusión del sistema. Vamos a empezar pues con el método de sustitución:

    De manera esquemática, para resolver un sistema lineal de dos ecuaciones con dos incógnitas por el método de sustitución hay que seguir las siguientes fases:

    i. Se despeja una de las incógnitas en una cualquiera de las ecuaciones.

    ii. Se sustituye la expresión obtenida en la otra ecuación y se resuelve la ecuación de primer grado en una incógnita que resulta de esta sustitución.

    iii. Una vez calculada la primera incógnita, se calcula la otra en la ecuación despejada obtenida en el primer paso.

    Evidentemente, aún cuando la incógnita que se va a despejar en el primer paso puede ser cualquiera y de cualquier ecuación, es mejor, por la facilidad de los cálculos posteriores, hacer una buena elección de ambas, incógnita y ecuación. Queremos decir que será más fácil operar después si, por ejemplo, se elige una incógnita en una ecuación en la que "no tenga" coeficiente (es decir, que su coeficiente sea 1), ya que, en ese caso, podremos evitar el cálculo con fracciones.

    Hemos mencionado, en los párrafos anteriores, que, de manera simultánea, se puede ir haciendo la discusión del sistema. ¿Cómo?. Pues bien, si en el proceso de sustituir la incógnita despejada en el primer paso en la otra ecuación e intentar resolverla nos quedase una expresión del tipo "0 = 0", o "K = K", siendo K un número cualquiera (por ejemplo, 4 = 4), tendremos que el sistema es compatible indeterminado y tiene infinitas soluciones. Esto se debe a que, en ese caso, una de las ecuaciones es múltiplo de la otra y el sistema quedaría reducido a una sola ecuación, con lo que habría infinitos pares de números (x, y) que la cumplirían. Este tipo de ecuación (0 = 0) se llama ecuación trivial.

    Por otro lado, si la ecuación que nos resultase en el proceso anteriormente explicado fuera de la forma "K = 0", siendo K cualquier número distinto de 0, tendremos que el sistema es incompatible por lo que, en ese caso, no tiene solución. Esto es claro por la imposibilidad de la expresión aparecida. Este tipo de ecuación (K = 0) se llama ecuación degenerada. No habría, por tanto, ningún par de números (x, y) que cumplieran ambas ecuaciones del sistema.

    Por último, si no nos encontramos, al resolver el sistema, ninguna de los tipos antes descritos de ecuaciones (triviales y degeneradas) y llegamos, al final de su resolución, a un valor para la incógnita x y a otro para la y, estos dos valores formarán el par (x, y) que nos da la solución del sistema y éste tendrá, por tanto una única solución y será un sistema compatible determinado.

    Todas las aclaraciones de los párrafos anteriores sobre la discusión de los sistemas son válidas, no sólo para el método de sustitución, sino también para los otros dos métodos de tipo analítico, igualación y reducción, que veremos en las secciones siguientes.

    Veamos ahora un ejemplo de resolución de un sistema mediante el método de sustitución:

    Entre Ana y Sergio tienen 600 euros, pero Sergio tiene el doble de euros que Ana. ¿Cuánto dinero tiene cada uno?.

    Llamemos x al número de euros de Ana e y al de Sergio. Vamos a expresar las condiciones del problema mediante ecuaciones: Si los dos tienen 600 euros, esto nos proporciona la ecuación x + y = 600. Si Sergio tiene el doble de euros que Ana, tendremos que y = 2x. Ambas ecuaciones juntas forman el siguiente sistema:

    x + y = 600
    y = 2x

    Vamos a resolver el sistema por el método de sustitución, ya que en la 2ª ecuación hay una incógnita, la y, ya despejada. Sustituimos el valor de y = 2x en la primera ecuación, con lo que tendremos:

    x + 2x = 600 ⇒ 3x = 600 ⇒ x = 600/3 ⇒ x = 200

    Ahora sustituimos x = 200 en la ecuación en la que estaba despejada la y, con lo que tendremos:

    y = 2x ⇒ y = 400

    Por tanto, la solución al problema planteado es que Ana tiene 200 euros y Sergio tiene 400 euros " (2).

    Método de Igualación:

    "Consiste en una pequeña variante del antes visto de sustitución. Para resolver un sistema de ecuaciones por este método hay que despejar una incógnita, la misma, en las dos ecuaciones e igualar el resultado de ambos despejes, con lo que se obtiene una ecuación de primer grado. Las fases del proceso son las siguientes:

    1. Se despeja la misma incógnita en ambas ecuaciones.

    2. Se igualan las expresiones obtenidas y se resuelve la ecuación lineal de una incógnita que resulta.

    3. Se calcula el valor de la otra incógnita sustituyendo la ya hallada en una de las ecuaciones despejadas de primer paso.

    Evidentemente, todas las aclaraciones hechas en la sección anterior sobre la elección de la incógnita que queremos despejar, así como sobre la discusión del sistema en orden a saber si tiene solución o no y cuántas (en caso de tenerlas), son igualmente válidas en este método.

    A continuación, vamos a resolver el mismo ejercicio de la sección anterior mediante el método de igualación. Recordamos el enunciado del ejercicio, así como el sistema de ecuaciones al que daba lugar su planteamiento:

    Entre Ana y Sergio tienen 600 euros, pero Sergio tiene el doble de euros que Ana. ¿Cuánto dinero tiene cada uno?.

    Llamemos x al número de euros de Ana e y al de Sergio. Vamos a expresar las condiciones del problema mediante ecuaciones: Si los dos tienen 600 euros, esto nos proporciona la ecuación x + y = 600. Si Sergio tiene el doble de euros que Ana, tendremos que y = 2x. Ambas ecuaciones juntas forman el siguiente sistema:

    x + y = 600
    y = 2x

    Vamos a resolver el sistema por el método de igualación y ya que en la 2ª ecuación hay una incógnita, la y, despejada, vamos a despejar la misma incógnita en la otra ecuación, con lo que tendremos:

    y = 2x
    ⇒ 2x = 600 - x ⇒ 2x + x = 600 ⇒ 3x = 600 ⇒ x = 600/3 = 200
    y = 600 - x

    Ahora sustituimos x = 200 en una de las ecuaciones en las que estaba despejada la y, con lo que tendremos:

    y = 2x ⇒ y = 400

    Por tanto, la solución al problema planteado es que Ana tiene 200 euros y Sergio tiene 400 euros, es decir, el mismo resultado, evidentemente, que habíamos obtenido con el método de sustitución". (3)

    Método de Determinantes o de Crammer:

    Es aplicable si el sistema tiene igual número de ecuaciones que de incógnitas n=m y el determinante de la matriz de coeficientes es distinto de cero. Es decir, un sistema de Cramer es, por definición, compatible determinado y, por tanto, tiene siempre una solución única.

    El valor de cada incógnita xi se obtiene de un cociente cuyo denominador es el determinate de la matriz de coeficientes, y cuyo numerador es el determinante que se obtiene al cambiar la columna i del determinante anterior por la columna de los términos independientes.

    Ejemplo:

    Resolver el siguiente sistema compatible determinado

    Citas bibliográficas.

    1) Métodos analíticos de resolución: Reducción ( Autor: Jesús Duarte y Juanma Sánchez )

    http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd99/ed99-0045-01/secciones/reduccion.html

    2) Métodos analíticos de resolución: Sustitución ( Autor: Jesús Duarte y Juanma Sánchez )


    http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd99/ed99-0045-01/secciones/sustitucion.html

    3) Métodos analíticos de resolución: Igualación ( Autor: Jesús Duarte y Juanma Sánchez )

    http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd99/ed99-0045-01/secciones/igualacion.html

    4) ESTUDIO DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES (s.e.l.) ( Autor : Anónimo )

    http://personal5.iddeo.es/ztt/Tem/T8_Estudio_SEL.htm

    Direcciones URL:

    1) http://descartes.cnice.mecd.es/Algebra/sist_ecu_jacm/sist_ecuac.htm
    2)
    http://www20.brinkster.com/fmartinez/algebra7.htm

    7. ¿Qué es una Matriz? Ejemplos

    "Una matriz es un conjunto de elementos de cualquier naturaleza aunque, en general, suelen ser números ordenados en filas y columnas.

    Se llama matriz de orden "m × n" a un conjunto rectangular de elementos aij dispuestos en m filas y en n columnas. El orden de una matriz también se denomina dimensión o tamaño, siendo m y n números naturales.

    Las matrices se denotan con letras mayúsculas: A, B, C, ... y los elementos de las mismas con letras minúsculas y subíndices que indican el lugar ocupado: a, b, c, ... Un elemento genérico que ocupe la fila i y la columna j se escribe aij . Si el elemento genérico aparece entre paréntesis también representa a toda la matriz : A = (aij)

    Cuando nos referimos indistíntamente a filas o columnas hablamos de líneas. El número total de elementos de una matriz Am×n es m·n"(1)

    Otros conceptos de matriz:

    "El conjunto de números o símbolos algebraicos colocados en líneas horizontales y verticales y dispuestos en forma de rectángulo"(2).

    "Conjunto de cantidades o expresiones dispuestas ordenadamente en filas y columnas formando un cuadrado o un rectángulo, de modo que la posición de cada elemento en la matriz corresponde a determinada fila y columna"(3).

    C = \begin{pmatrix}   C_{11} & C_{12} & C_{13} \\   C_{21} & C_{22} & C_{23} \\     C_{31} & C_{32} & C_{33} \\   C_{41} & C_{42} & C_{43}  \end{pmatrix} , C \in M_{4,3}(\mathbb{C})

    Citas bibliográficas:

    1)http://es.wikipedia.org/wiki/Matriz_(programaci%C3%B3n

    2)http://es.wikipedia.org/wiki/Matriz

    3)http://www.sesic3.sep.gob.mx/cgi-bin/glosario/glsr1.pl?busca=M

    Imagén sacada de:

    http://es.wikipedia.org/wiki/Matriz_%28matem%C3%A1ticas%29#Clases_de_matrices

    Citas URL:

    http://sgp.cna.gob.mx/Publico/Diccionarios/Glosario.htm


    8. ¿Cómo determinar la Determinante de una matriz?

    Primer paso: se completa las dos primeras filas en la parte de abajo

    Segundo paso: se multiplica en aspa respetando los signos

    Tercer paso: se hace lo mismo en sentido contrario

    Cuarto paso: de estos dos resultados se resta obteniéndose el valor de la determinante.


    EJEMPLO:

    Operando el algoritmo anterior, y teniendo en cuenta que i es siempre 1, obtendremos :

    paso 1: a11=1. al eliminar la fila 1 y columna 1 de la la matriz obtenemos 4, mientras en la suma i+j=2.

    paso 2: a12=3 mientras la eliminación de la fila 1 y columna 2 da como resultado 6 y la suma i+j=3.

    es decir ...

    http://www.psico.uniovi.es/Dpto_psicologia/metodos/tutor.3/mat2.html


    9. ¿Qué plantea el método de Gauss?

    Método de Gauss o de triangulación de matrices

    Consiste básicamente en obtener la matriz triangulada de una matriz operando con las filas.

    Las operaciones elementales que podemos hacer son:

    1. Intercambiar dos filas:

    A =(12)

    F1 <---> F2

    (34)
    3412

    <--->
    intercambia

    2. Sustituir una fila por si misma multiplicada por un número distinto de cero:

    B =(12)(12)
    34

    3 . F2 ---> F2

    912

    --->
    sustituye a

    3. Sustituir una fila por sí misma multiplicada por un número distinto de cero y
    sumada o restada a otra fila también multiplicada por un número distinto de cero:

    C =

    (

    1

    2

    )

    (

    1

    2

    )

    3

    4

    2 . F1 + 5 . F2 ---> F2

    17

    24

    (1)

    Citas bibliográficas:

    http://www.cnice.mecd.es/eos/MaterialesEducativos/mem2000/algebra/gauss.htm

    http://tamarugo.cec.uchile.cl/~cutreras/apuntes/node43.html

    http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd99/ed99-0289-02/ran022.html

    http://www.uv.es/~diaz/mn/node30.html

    10. Investiga sobre Sistema de ecuaciones con tres incógnitas, métodos.

    Para resolver un sistema de ecuaciones con tres incógnitas se aplica el método de

    Las matrices

    3/x+a – 1/x-a = 2/x

    3(x-a)x - (x+a)x = 2(x+a)(x-a)

    (3x – 3a)x –x2-ax = 2(x2-a2)

    x2 -3ax- x2 – ax = 2(x2 – 2a2)

    x2 -3ax- x2 – ax = 2x2 – 2a2

    x2 -3ax- x2 – ax2 – 2a2= 0

    -3ax– ax2 + 2a2= 0

    0 = x2 +3ax - 2a2

    11. Aplicaciones en problemas.

    PROBLEMAS CON ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO















    La palabra "problema" a menudo se emplea con un sentido equivocado en las clases de matemática. A menudo, determinado ejercicio es simple rutina para algunos individuos, mientras que para otros se convierte en tarea que requiere decisión y reflexión cuidadosa. Se ha dicho que: "Lo que para una persona es un problema para otra es un ejercicio y para una tercera un fracaso "

    Se considera que la existencia de ciertas condiciones determinan si una situación es un problema para determinado individuo, entre las cuales podemos mencionar:

    i.) El camino para llegar a la meta deseada está bloqueado y los patrones fijos de conducta del individuo, sus respuestas habituales, no son suficientes para romper ese bloqueo.

    ii.) Tiene que haber deliberación.

    ¿Porqué es importante la solución de problemas?

    La realidad concreta no es simple, ni inalterable. Más bien cambia rápidamente. En un mundo tal, la capacidad de ajuste y solución de los propios problemas es de importancia primordial.

    Si la vida fuera de una naturaleza tan constante que sólo tuviéramos que hacer unas cuantas tareas una y otra vez de exactamente el mismo modo, el conocimiento de cómo resolver problemas podría resultar artificioso. Pues, todo lo que se tendría que hacer sería aprender cómo ejecutar las pocas tareas desde el primer momento.

    Esta parte el objetivo es presentar situaciones planteadas en el lenguaje corriente, con el fin de que el estudiante se agilice con el proceso de trasladar situaciones en el lenguaje matemático, y le sirva de preparación para próximos cursos de matemática, así como en aquellos cursos propios de la carrera donde el estudiante tenga que construir algunos modelos matemáticos.

    Existe algún procedimiento modelo que se pueda usar para resolver todo problema, o más específicamente, toda situación planteada en el lenguaje corriente?´

    La respuesta es: no existe tal procedimiento.

    Sin embargo, a menudo podemos seguir algunos pasos, los cuales nos pueden ayudar en la resolución de problemas:

    Paso 1: Lea el problema cuidadosamente :Debe estar seguro de haber entendido el significado de todos los términos usados en el problema.

    Paso 2 : Determine cúales son las incógnitas: Con base en la lectura usted debe determinar, cuáles son los datos conocidos y cuáles datos son los que usted debe averiguar para resolver el problema. Represente cada uno de los datos desconocidos con una letra (incógnita).

    Paso 3:Escriba la ecuación o el sistema de ecuaciones correspondientes: Relacione los datos conocidos con los datos desconocidos estableciendo una ecuación o un sistema de ecuaciones.

    Paso 4: Resuelva las ecuaciones obtenidas: Usted debe resolver la ecuación o el sistema de ecuaciones que se obtuvo en el paso anterior.

    Paso 5: Compruebe las soluciones obtenidas: Usted debe comprobar cada solución obtenida contra las condiciones establecidas en la situación expresada en lenguaje corriente.

    Ejemplo

    La escala usada en la elaboración de un mapa de Centroamérica es: $1 \;cm$ es a $10 \;km$ ( o sea $1 \;cm$ del mapa correponde a $10 \;km$ de Centroámerica).

    ¿A qué distancia se encuentran dos ciudades que en el mapa están representadas con una distancia entre ellas de

    $2,5\; \mbox{cent\'{i}metros}$?

    Solución

    Sea $x:$ número de kilómetros entre las dos ciudades

    Entonces tenemos que:

    $1 \;cm$ es $2.5 \;\mbox{cm}$ com $10 \;\mbox{Km}$ es a $x$ Kilómetros, o sea

    $\displaystyle{1 \over 2.5}$=$\displaystyle{10 \over x}$
    $\Longrightarrow1 x$=$\left(10 \right)\left(2.5 \right)$
    $\Longrightarrow x$=25


    Respuesta: Las ciudades están a $25$ km de distancia.

    http://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/MATEGENERAL/t2-ecuaciones/ecuaciones-julioetall/node18.html

    http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd97/Problemas/09-02-p-SisEcuProblemas.html

    http://www.sectormatematica.cl/media/diferenciado/ecyprob.htm

    http://www.edulat.com/3eraetapa/matematicas/3%20ano/18.htm

    http://www.cnice.mecd.es/Descartes/4a_eso/Ecuacion_de_segundo_grado/Ecua_seg.htm#probl

    PROBLEMAS DE APLICACIÓN

    Los siguientes problemas se plantean mediante una ecuación de segundo grado, aunque luego al resolverla pueda dar lugar a una ecuación de primer grado en algún caso.

    Problema 1.- Calcular la hipotenusa de un triángulo rectángulo, sabiendo que las medidas de sus lados son tres números consecutivos

    Solución: Se puede realizar el siguiente dibujo del problema, teniendo en cuenta que la hipotenusa el el lado mayor y llamando "x" al menor de los catetos.

    Teniendo en cuenta el teorema de Pitágoras, se cumple: (x+2)2 = (x+ 1)2 + x2.

    Operando: x2 + 4x + 4 = x 2 + 2x + 1+ x2.

    Agrupando todos los términos en el segundo miembro y simplificando: x2 - 2x - 3 = 0

    Ecuación que sabes resolver numéricamente, con soluciones: x = 3 y x = -1 como puede verse en la siguiente escena.

    Naturalmente la solución x =-1 hay que rechazarla porque un lado no puede tener una medida negativa, luego nos queda:

    Hipotenusa: x + 2 = 5 ; Cateto mayor: x + 1 = 4 ; Cateto menor: x = 3.

    Plantea la ecuación necesaria en cada caso para resolver los siguientes problemas. Resuélvelas numéricamente y también gráficamente usando la escena anterior

    Problema 2.- Un rectángulo la base mide el triple que la altura. Si disminuimos en 1 cm. cada lado, el área inicial disminuye en 15 cm . Calcular las dimensiones y el área del rectángulo inicial.

    (Sugerencia: Realiza un dibujo del problema).

    Solución: Base = 12 cm. Altura = 4 cm.

    Problema 3.- Hallar tres números impares consecutivos, tales que si al cuadrado del mayor se le restan los cuadrados de los otros dos se obtiene como resultado 7.

    (Solución: 5 , 7, y 9 )

    Problema 4.- La edad de un padre es el cuadrado de la de su hijo. Dentro de 24 años la edad del padre será el doble de la del hijo. ¿Cuántos años tiene ahora cada uno?

    (Solución: 6 y 36)

    1 Comments:

    At 5:49 PM, Blogger Mary Morgan said...

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